研究巴拿赫空間之前，我們有必要完全弄清楚巴拿赫空間、希爾伯特內積空間、賦範線性空間這三者之間的區別和聯絡。

賦範線性空間是距離空間，希爾伯特內積空間必然是賦範線性空間，巴拿赫空間是完備的賦範線性空間。這是三者間的基本關係。

作為資深專家，具備大師水平的數學研究者，穆勒和沈奇同樣需要依託最基礎的理論去證明體系內的定理。

內積空間中的內積可以定義範數，而範數不一定非要內積來定義。希爾伯特空間是巴拿赫空間的特例，而巴拿赫空間是完備距離空間的特例。

所以，沈奇基於穆勒在1982年的一條證明重新定義如下：

“巴拿赫空間X的一個非空子集C稱為逼近緊的，是指對任意｛xn｝∞n=1∈C及任意y∈X，如果使得

‖xn-y‖→dist（y，C）=inf｛‖xn-y‖：x∈C｝，

那麼｛xn｝∞n=1就存在一個柯西列，稱X是逼近緊的，且X的每個閉凸子集是逼近緊。”

“思路逐漸清晰，沈奇你認為一個巴拿赫空間X是逼近緊的當且僅當它具備drop性質。”穆勒教授再次檢查沈奇設定的前提條件。

巴拿赫空間綜合了泛函分析、拓撲、空間幾何等諸多分支，是一個有難度的領域，不適合初學者接觸。

“沒錯。”沈奇和穆勒交流起來非常通暢，聰明人不廢話，數學家不囉嗦。

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